【理論】平成28年 問10｜スイッチ操作後のRC回路における過渡現象の論説問題

リアクトル回路の例題

電源電圧 E = 100 V、抵抗 R = 10 Ω、インダクタンス L = 50 mH のRL直列回路において、スイッチを閉じてから 5 ms 後のリアクトルの端子電圧と回路電流を求めよ。

\[ \begin{aligned} \text{時定数 } \tau &= \frac{L}{R} = \frac{50 \times 10^{-3}}{10} \\ \\[10pt] &= 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 5\,\mathrm{ms} \\ \\[10pt] V_{\mathrm{L}} &= E\,\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t} \\ \\[10pt] &= 100\,\mathrm{e}^{-\frac{10}{50 \times 10^{-3}} \times 5 \times 10^{-3}} \\ \\[10pt] &= 100\,\mathrm{e}^{-1} \\ \\[10pt] &\approx 36.8\,\mathrm{V} \\ \\[10pt] I_{\mathrm{L}} &= \frac{E}{R} \left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t} \right) \\ \\[10pt] &= \frac{100}{10} \left(1 - \mathrm{e}^{-1} \right) \\ \\[10pt] &= 10 \times 0.632 \\ \\[10pt] &\approx 6.32\,\mathrm{A} \end{aligned} \]

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この問題では、ちょうど時定数 τ と同じ 5 ms 経過した時点での値を求めているため、電圧は初期値の約36.8%、電流は最終値の約63.2%となります。

コンデンサ回路の例題

電源電圧 E = 100 V、抵抗 R = 10 kΩ、静電容量 C = 10 μF のRC直列回路において、スイッチを閉じてから 100 ms 後のコンデンサの端子電圧と回路電流を求めよ。

\[ \begin{aligned} \text{時定数 } \tau &= CR = 10 \times 10^{-6} \times 10 \times 10^3 \\ \\[10pt] &= 0.1\,\mathrm{s} = 100\,\mathrm{ms} \\ \\[10pt] V_{\mathrm{C}} &= E\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}}\right) \\ \\[10pt] &= 100\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{100 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6} \times 10 \times 10^3}}\right) \\ \\[10pt] &= 100\left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \\ \\[10pt] &\approx 100 \times 0.632 \\ \\[10pt] &\approx 63.2\,\mathrm{V} \\ \\[10pt] I_{\mathrm{C}} &= \frac{E}{R} \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}} \\ \\[10pt] &= \frac{100}{10 \times 10^3} \mathrm{e}^{-1} \\ \\[10pt] &= 10 \times 10^{-3} \times 0.368 \\ \\[10pt] &\approx 3.68\,\mathrm{mA} \end{aligned} \]

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この問題では、ちょうど時定数 τ と同じ 100 ms 経過した時点での値を求めているため、電圧は最終値の約63.2%、電流は初期値の約36.8%となります。

例題1：複合時定数のRL回路

抵抗 R = 20 Ω、インダクタンス L = 100 mH の直列回路に、初期電流 I₀ = 5 A が流れていた。この回路を短絡した場合、2 ms 後の電流値を求めよ。

\[ \begin{aligned} \text{時定数} \tau &= \frac{L}{R} = \frac{100 \times 10^{-3}}{20} = 5 \times 10^{-3} \; \mathrm{s} = 5 \; \mathrm{ms} \\[10pt] I &= I_0 \mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t} = 5 \mathrm{e}^{-\frac{20}{100 \times 10^{-3}} \times 2 \times 10^{-3}} \\[10pt] &= 5 \mathrm{e}^{-0.4} \approx 5 \times 0.67 \approx 3.35 \; \mathrm{A} \end{aligned} \]

例題2：充電済みコンデンサの放電

静電容量 C = 47 μF のコンデンサに 24 V の電圧が充電されている。このコンデンサを抵抗 R = 10 kΩ で放電させた場合、コンデンサの電圧が 10 V になるまでの時間を求めよ。

\[ \begin{aligned} \text{時定数} \tau &= CR = 47 \times 10^{-6} \times 10 \times 10^3 = 0.47 \; \mathrm{s} \\[10pt] V &= V_0 \mathrm{e}^{-\frac{t}{CR}} \\[10pt] 10 &= 24 \mathrm{e}^{-\frac{t}{0.47}} \\[10pt] \frac{10}{24} &= \mathrm{e}^{-\frac{t}{0.47}} \\[10pt] \ln\left(\frac{10}{24}\right) &= -\frac{t}{0.47} \\[10pt] t &= -0.47 \times \ln\left(\frac{10}{24}\right) \\[10pt] &= -0.47 \times \ln(0.417) \\[10pt] &= -0.47 \times (-0.875) \\[10pt] &\approx 0.41 \; \mathrm{s} \end{aligned} \]